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Modelo New Keynesian de 3 Ecuaciones

IS dinámica, Curva de Phillips NK y Regla de Taylor: el modelo macro moderno

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Conceptos formales

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Condicion de Transversalidad

Macro

Condicion de optimalidad en problemas de horizonte infinito que impide que el valor descontado del stock de activos diverja positivamente al infinito, eliminando soluciones de burbuja. Formalmente requiere que lim_{t->inf} beta^t * u'(c_t) * k_t = 0 en el modelo de Ramsey. Complementa las condiciones de primer orden (Euler) para caracterizar completamente la trayectoria optima del agente.

\lim_{t \to \infty} \beta^t \, u'(c_t) \, k_t = 0

Consumo Intertemporal

Macro

Marco teorico en el que los hogares maximizan la utilidad descontada de consumo a lo largo del ciclo de vida, sujetos a la restriccion presupuestaria intertemporal que iguala el valor presente del consumo con el valor presente de la riqueza. El resultado central es la ecuacion de Euler que relaciona el consumo presente y futuro a traves de la tasa de interes real y el factor de descuento. El modelo predice alisamiento del consumo ante shocks transitorios de ingreso.

\max \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t u(c_t) \quad \text{s.a.} \quad \sum_{t=0}^{\infty} R^{-t} c_t = W_0

Ecuacion de Bellman

Macro

Ecuacion funcional que descompone un problema de optimizacion dinamica de horizonte infinito en la eleccion optima hoy mas el valor descontado del problema residual. En su forma general, V(s) = max_a {r(s,a) + beta·V(s'(s,a))}. Bajo beta < 1 y r acotado, el operador de Bellman T es una contraccion en la norma sup (Teorema de Blackwell), garantizando existencia y unicidad de V por el teorema de punto fijo de Banach. La politica optima c* = g(k) se obtiene del argmax, y la ecuacion de Euler es la CPO de la maximizacion interior.

V(s) = \max_{a} \left\{ r(s,a) + \beta \, V\big(s'(s,a)\big) \right\}, \quad \beta < 1

Ecuacion de Euler (Consumo)

Macro

Condicion intertemporal de optimalidad derivada de la CPO del problema de maximizacion del consumidor con utilidad u estrictamente concava y diferenciable. Iguala la utilidad marginal del consumo presente con el valor esperado descontado de la utilidad marginal futura multiplicada por el retorno bruto R_{t+1} = 1 + r_{t+1}. Junto con la condicion de transversalidad, caracteriza completamente la trayectoria optima de consumo. Se obtiene como CPO de la ecuacion de Bellman del problema intertemporal.

u'(c_t) = \beta \, E_t\left[ u'(c_{t+1}) \, R_{t+1} \right]

Estado Estacionario

Macro

Equilibrio de largo plazo de un modelo dinamico en el que las variables de estado (capital per capita, consumo per capita) permanecen constantes en el tiempo, o crecen a tasas constantes en presencia de progreso tecnico. En el modelo de Solow, el estado estacionario k* satisface s*f(k*) = (n + delta)*k*, donde los ahorros financian exactamente la inversion necesaria para mantener el capital por unidad de trabajo eficiente. La economia converge al estado estacionario desde cualquier condicion inicial.

sf(k^*) = (n + g + \delta)\,k^*

Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans

Macro

Modelo de crecimiento optimo con microfundamentos que extiende el modelo de Solow al determinar endogenamente el ahorro como solucion al problema de maximizacion de la utilidad intertemporal de una dinastia de hogares con horizonte infinito. El equilibrio competitivo coincide con el optimo del planificador social (primer teorema del bienestar). Las condiciones de optimalidad son la ecuacion de Euler para el consumo y la ecuacion de acumulacion de capital, junto con la condicion de transversalidad.

\max \int_0^{\infty} e^{-\rho t} u(c_t) \, dt \quad \text{s.a.} \quad \dot{k} = f(k) - c - (n+\delta)k

Modelo de Ciclo Economico Real (RBC)

Macro

Clase de modelos de equilibrio general dinamico estocastico (DSGE) con precios flexibles y mercados completos, en los que las fluctuaciones del producto son respuestas optimas de agentes racionales a shocks de productividad real (tecnologicos). Desarrollado por Kydland y Prescott (1982), el modelo replica ciertos momentos del ciclo economico sin fricciones nominales. Implica que las fluctuaciones son eficientes (no hay rol para politica estabilizadora), lo que lo diferencia fundamentalmente de los modelos neokeynesianos.

\max \, E_0 \sum_{t=0}^\infty \beta^t u(c_t, 1-l_t) \quad \text{s.a.} \quad k_{t+1} = A_t f(k_t, l_t) - c_t + (1-\delta)k_t

Modelo de Generaciones Traslapadas (OLG)

Macro

Modelo de equilibrio general de horizonte finito propuesto por Samuelson (1958) y Diamond (1965) en el que coexisten generaciones de distintas edades en cada periodo, y los jovenes ahorran para financiar el consumo en la vejez. A diferencia del modelo de Ramsey, el equilibrio competitivo puede ser dinamicamente ineficiente (sobreacumulacion de capital respecto a la regla de oro) porque no existe un mecanismo de mercado que corrija la externalidad intergeneracional. La deuda publica puede mejorar el bienestar al transferir recursos de jovenes a viejos.

k_{t+1} = \frac{s(w_t, r_{t+1})}{1 + n}

Regla de Oro del Crecimiento

Macro

Tasa de ahorro y nivel de capital per capita que maximiza el consumo per capita en el estado estacionario, derivada por Phelps (1961). La condicion es que la productividad marginal del capital iguale la tasa de crecimiento del trabajo eficiente: f'(k_gold) = n + g + delta, o equivalentemente, el ahorro neto sea cero en estado estacionario. Si la economia sobreacumula capital (k* > k_gold), una reduccion de la tasa de ahorro incrementa el consumo permanente.

f'(k_{\text{gold}}) = n + g + \delta

Pregunta Central

¿Cuál es la trayectoria óptima de consumo y acumulación de capital?

🕸️ Mapa de Conexiones

📚 Ruta de Aprendizaje

Sugerimos estudiar estos modelos en orden para una comprensión completa.

💡 Conceptos Clave

🎯Optimización

Proceso de encontrar la mejor decisión dadas las restricciones

🔄Estado Estacionario

Situación de largo plazo donde las variables clave dejan de cambiar

También en:
📅Largo Plazo

Horizonte donde todos los precios y cantidades se ajustan completamente

También en:

📐 Ecuaciones Fundamentales

Ecuación de Euler
Trayectoria óptima de consumo
\frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\theta}(f'(k) - \delta - \rho)
Acumulación de Capital
Dinámica del capital per cápita
\dot{k} = f(k) - c - (n + \delta)k
Regla de Oro Modificada
Capital de estado estacionario óptimo
f'(k^*) = \rho + \delta + \theta n
Condición de Transversalidad
No sobre-acumulación de capital
\lim_{t \to \infty} k(t) e^{-\int_0^t (r(s)-n) ds} = 0

Aplicaciones

  • Política fiscal óptima
  • Análisis de tasa de ahorro óptima
  • Evaluación de políticas de crecimiento

⚠️ Limitaciones

  • Agente representativo (ignora heterogeneidad)
  • Horizonte infinito poco realista
  • Previsión perfecta

Sobre el Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans

El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans representa una de las contribuciones más importantes a la teoría del crecimiento económico. A diferencia del modelo de Solow, donde la tasa de ahorro es exógena, aquí los consumidores eligen óptimamente cuánto consumir y cuánto ahorrar en cada momento del tiempo.

El Problema del Consumidor

Los agentes maximizan utilidad intertemporal sujeto a restricciones:

  • • Función de utilidad CRRA: u(c) = c^(1-θ)/(1-θ)
  • • Descuentan el futuro a tasa ρ (preferencia por el presente)
  • • Enfrentan restricción presupuestaria dinámica
  • • θ mide aversión al riesgo e inversa de EIS

Ecuación de Euler

La condición de optimalidad determina la tasa de crecimiento del consumo:

  • • ċ/c = (1/θ)(r - ρ) donde r = f'(k) - δ
  • • Si r > ρ: los consumidores posponen consumo (c crece)
  • • Si r < ρ: los consumidores prefieren consumir ahora
  • • θ alto: menor disposición a sustituir consumo intertemporalmente

Diagrama de Fase y Dinámica

El sistema dinámico de Ramsey se representa en el espacio (k, c) con dos locus clave:

  • ċ = 0 (locus vertical): Cuando f'(k*) = ρ + δ, el consumo es constante. Este define el capital de estado estacionario k*. A la izquierda de k*, el consumo crece; a la derecha, decrece.
  • k̇ = 0 (locus con forma de joroba): Define c = f(k) - (n+δ)k, la máxima cantidad que se puede consumir manteniendo k constante. Por debajo de esta curva, k crece; por encima, decrece.

El equilibrio de largo plazo ocurre donde se cruzan ambos locus. La economía converge a este punto siguiendo el saddle path (sendero de silla de montar), que es la única trayectoria estable.

Regla de Oro vs. Regla de Oro Modificada

Regla de Oro (Solow): Maximiza consumo per cápita en estado estacionario. Condición: MPK = n + δ, es decir, f'(k_gold) = n + δ.
Regla de Oro Modificada (Ramsey): Los consumidores tienen preferencia por el presente (ρ > 0), por lo que eligen k* < k_gold. Condición: f'(k*) = ρ + δ.
Intuición: Como ρ + δ > n + δ, se tiene k* < k_gold. Los consumidores impacientes prefieren consumir más hoy, acumulando menos capital que el nivel que maximizaría el consumo de largo plazo. Cuanto mayor es ρ, menor es k*.

Comparación con el Modelo de Solow

CaracterísticaSolowRamsey
Tasa de ahorroExógena (s constante)Endógena (varía con k y c)
AgentesNo optimizanMaximizan utilidad intertemporal
Estado estacionarioDepende de sDepende de ρ y θ
Regla de oroPuede estar sobre o bajoSiempre k* < k_gold (si ρ > 0)
PolíticaPuede mejorar bienestarEquilibrio es óptimo

Condición de Transversalidad

Para que la solución sea óptima, debe cumplirse la condición de transversalidad:

lim(t→∞) e^(-ρt) u'(c(t)) k(t) = 0

Esta condición asegura que el agente no acumula activos infinitos ni se endeuda indefinidamente. Es el equivalente intertemporal de gastar todo el presupuesto.

Implicaciones de Política

  • Optimalidad: A diferencia de Solow, el equilibrio de Ramsey es Pareto-óptimo (cumple el Primer Teorema del Bienestar). No hay rol para políticas que mejoren el bienestar si los mercados son completos y competitivos.
  • Impuestos: Impuestos sobre el capital distorsionan la decisión de ahorro-consumo y reducen el bienestar, a menos que haya fallas de mercado.
  • Subsidios al ahorro: Si hay externalidades positivas del capital (ej: learning by doing), puede justificarse subsidiar el ahorro para alcanzar k_gold.

Extensiones y Literatura

El modelo básico se ha extendido en múltiples direcciones:

  • Progreso tecnológico exógeno (modelo AK, crecimiento endógeno)
  • Capital humano y educación
  • Economía abierta (préstamos internacionales)
  • Gobierno y gasto público
  • Incertidumbre y ahorro precautorio
  • Agentes heterogéneos (Aiyagari, 1994)

Referencias Clave

  • • Ramsey, F. (1928). "A Mathematical Theory of Saving". Economic Journal.
  • • Cass, D. (1965). "Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation". Review of Economic Studies.
  • • Koopmans, T. (1965). "On the Concept of Optimal Economic Growth". Econometric Approach to Development Planning.
  • • Barro, R. & Sala-i-Martin, X. (2004). Economic Growth, 2nd Ed. MIT Press. (Caps. 2-3)
  • • Acemoglu, D. (2009). Introduction to Modern Economic Growth. Princeton. (Cap. 8)

Ejercicios Recomendados

  1. Usa el modelo interactivo para verificar que un aumento en ρ reduce k* y c*. ¿Por qué consumidores más impacientes acumulan menos capital?
  2. Compara la trayectoria de Ramsey con la de Solow partiendo del mismo k0. ¿Cuál converge más rápido? (Pista: en Ramsey, s varía óptimamente).
  3. Encuentra el valor de ρ que hace que k* = k_gold. ¿Qué significa esto económicamente?
  4. Experimenta con θ alto vs bajo. ¿Cómo afecta la elasticidad de sustitución intertemporal (1/θ) a la velocidad de ajuste del consumo?